Упр.2.19 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) Задайте функцию S(x) формулой; убедитесь, что это квадратичная функция.
2) Постройте график этой функции.
3) Укажите промежуток, который является областью определения этой функции.
4) Каковы значения функции в граничных точках области определения? Дайте геометрическое истолкование этого факта.
5) При каком значении длины основания х площадь прямоугольника будет наибольшей? Что это за прямоугольник?

Пусть одна сторона прямоугольника равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$10-x$$ см, так как периметр равен $$20$$ см:

$$2(x+(10-x))=20.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=x(10-x)=10x-x^2.$$

Это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдём область определения. Стороны прямоугольника должны быть положительными:

$$x>0, \qquad 10-x>0.$$

Отсюда

$$0<x<10.$$

В граничных точках области определения:

$$S(0)=10\cdot 0-0^2=0,$$

$$S(10)=10\cdot 10-10^2=0.$$

Геометрически это означает, что при $$x=0$$ или $$x=10$$ прямоугольник вырождается в отрезок, поэтому его площадь равна нулю.

Максимум функции достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины:

$$x=\frac{10}{2}=5.$$

Тогда

$$S(5)=10\cdot 5-5^2=50-25=25.$$

Значит, наибольшая площадь равна $$25$$ см² и достигается при $$x=5$$ см. В этом случае вторая сторона тоже равна $$5$$ см, то есть прямоугольник является квадратом.

Ответ

1) $$S(x)=10x-x^2.$$

2) График — парабола с вершиной $$ (5;25) $$, нули функции: $$x=0$$ и $$x=10$$.

3) $$0<x<10.$$

4) $$S(0)=0,$$ $$S(10)=0$$; в этих точках прямоугольник вырождается в отрезок.

5) Наибольшая площадь при $$x=5$$ см; это квадрат со стороной $$5$$ см.