Упр.2.18 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

а) $$y=x^2+4x+7$$;

б) $$y=-2x^2+4x-4$$.

При построении пользуйтесь следующим планом: 1) найдите пару симметричных точек параболы, взяв, например, в качестве одной из них точку пересечения с осью $$y$$; 2) далее действуйте по плану, приведённому в упражнении 209, начиная с пункта 2.

Как вы думаете, почему в данном случае первый пункт был заменён? Предложите ещё какой-нибудь способ нахождения координат симметричных точек параболы.

Подробный ответ

а) $$y=x^2+4x+7$$

Найдём точку пересечения с осью $$Oy$$: при $$x=0$$

$$y(0)=0^2+4\cdot 0+7=7.$$

Получаем точку $$(0;7)$$. Найдём симметричную ей точку с той же ординатой:

$$x^2+4x+7=7,$$

$$x^2+4x=0,$$

$$x(x+4)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=-4.$$

Значит, точки симметрии: $$(0;7)$$ и $$(-4;7)$$. Ось симметрии проходит посередине между ними:

$$x=\frac{0+(-4)}{2}=-2.$$

Координаты вершины:

$$x=-2,\qquad y(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)+7=4-8+7=3.$$

Вершина параболы: $$(-2;3)$$.

Для построения возьмём ещё несколько точек:

$$y(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)+7=1-4+7=4,$$

$$y(-3)=(-3)^2+4\cdot(-3)+7=9-12+7=4,$$

$$y(1)=1^2+4\cdot1+7=12,$$

$$y(-5)=(-5)^2+4\cdot(-5)+7=12.$$

Итак, график — парабола, ветви направлены вверх, вершина $$(-2;3)$$.

б) $$y=-2x^2+4x-4$$

Найдём точку пересечения с осью $$Oy$$: при $$x=0$$

$$y(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-4=-4.$$

Получаем точку $$(0;-4)$$. Найдём симметричную ей точку с той же ординатой:

$$-2x^2+4x-4=-4,$$

$$-2x^2+4x=0,$$

$$-2x(x-2)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=2.$$

Значит, точки симметрии: $$(0;-4)$$ и $$(2;-4)$$. Ось симметрии:

$$x=\frac{0+2}{2}=1.$$

Координаты вершины:

$$x=1,\qquad y(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-4=-2.$$

Вершина параболы: $$(1;-2)$$.

Для построения возьмём ещё несколько точек:

$$y(-1)=-2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)-4=-10,$$

$$y(3)=-2\cdot 3^2+4\cdot 3-4=-10.$$

Итак, график — парабола, ветви направлены вниз, вершина $$(1;-2)$$.

Первый пункт был заменён, потому что в этих случаях удобнее сразу взять точку пересечения с осью $$Oy$$: она легко находится и сразу даёт пару симметричных точек. Если у параболы нет нулей, то искать симметричные точки через пересечение с осью $$Ox$$ нельзя.

Ещё один способ найти симметричные точки: взять любое значение $$x$$, вычислить $$y$$, а затем найти второе значение $$x$$ с той же ординатой из уравнения $$f(x)=y$$.