Упр.2.118 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) y = 2 / (x + 3); б) y = -1 / (x — 4).
2) Покажите с помощью схематического рисунка, как расположена в координатной плоскости гипербола, заданная формулой y = k / (x + p), если:
a) k > 0, р > 0; в) k < 0, р > 0;
б) k > 0, р < 0; г) k < 0, р < 0.

1. Для функции вида $$y=\frac{k}{x-a}$$ вертикальная асимптота: $$x=a,$$ горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   а) $$y=\frac{2}{x+3}=\frac{2}{x-(-3)}.$$

   Значит, вертикальная асимптота: $$x=-3,$$ горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   Возьмём несколько точек:

   $$x=-7,\ y=-\frac12;\quad x=-5,\ y=-1;\quad x=-4,\ y=-2;\quad x=-\frac72,\ y=-4;$$
   $$x=-\frac52,\ y=4;\quad x=-2,\ y=2;\quad x=-1,\ y=1;\quad x=1,\ y=\frac12.$$

   По этим точкам строится гипербола с ветвями в I и III четвертях относительно асимптот $$x=-3$$ и $$y=0.$$

   б) $$y=-\frac{1}{x-4}.$$

   Значит, вертикальная асимптота: $$x=4,$$ горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   Возьмём несколько точек:

   $$x=2,\ y=\frac12;\quad x=3,\ y=1;\quad x=\frac72,\ y=2;$$
   $$x=\frac92,\ y=-2;\quad x=5,\ y=-1;\quad x=6,\ y=-\frac12.$$

   График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях относительно асимптот $$x=4$$ и $$y=0.$$

2. Для функции $$y=\frac{k}{x+p}$$ вертикальная асимптота: $$x=-p,$$ горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   Знак $$k$$ определяет, в каких четвертях расположены ветви, а знак $$p$$ — сдвиг графика по оси $$x.$$

   • а) $$k>0,\ p>0.$$

     Асимптота $$x=-p$$ находится слева от оси $$y$$, ветви расположены в I и III четвертях относительно точки пересечения асимптот.

   • б) $$k>0,\ p<0.$$

     Асимптота $$x=-p$$ находится справа от оси $$y$$, ветви расположены в I и III четвертях относительно точки пересечения асимптот.

   • в) $$k<0,\ p>0.$$

     Асимптота $$x=-p$$ слева от оси $$y$$, ветви расположены во II и IV четвертях относительно точки пересечения асимптот.

   • г) $$k<0,\ p<0.$$

     Асимптота $$x=-p$$ справа от оси $$y$$, ветви расположены во II и IV четвертях относительно точки пересечения асимптот.

Ответ

1) а) $$x=-3,$$ $$y=0.$$ б) $$x=4,$$ $$y=0.$$
2) При $$k>0$$ — ветви в I и III четвертях, при $$k<0$$ — во II и IV четвертях; асимптота $$x=-p$$ расположена слева от оси $$y$$ при $$p>0$$ и справа при $$p<0.$$