Упр.2.116 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) х^2 — 4х + 5 < 0; б) -х^2 + 8х - 20 > 0.

а) Рассмотрим выражение $$x^2-4x+5.$$

Первый способ: ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2,$$

$$y_0=2^2-4\cdot 2+5=4-8+5=1.$$

Минимальное значение функции равно $$1,$$ значит

$$x^2-4x+5\ge 1>0$$

при любых значениях $$x.$$ Следовательно, неравенство $$x^2-4x+5<0$$ не имеет решений.

Второй способ:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как $$\,(x-2)^2\ge 0,$$ то

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$$

при любых $$x.$$ Значит, решений нет.

б) Рассмотрим выражение $$-x^2+8x-20.$$

Первый способ: ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:

$$x_0=\frac{-8}{2\cdot(-1)}=4,$$

$$y_0=-4^2+8\cdot 4-20=-16+32-20=-4.$$

Наибольшее значение функции равно $$-4,$$ значит

$$-x^2+8x-20\le -4<0$$

при любых значениях $$x.$$ Следовательно, неравенство $$-x^2+8x-20>0$$ не имеет решений.

Второй способ:

$$-x^2+8x-20=-(x^2-8x+20)=-(x-4)^2-4.$$

Так как $$\,(x-4)^2\ge 0,$$ то

$$-(x-4)^2-4<0$$

при любых $$x.$$ Значит, решений нет.

Ответ

а) решений нет; б) решений нет.