Упр.2.115 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите двумя способами, что при всех значениях переменной $$a$$ верно неравенство:
   а) $$a^2+a+1>0$$;
   б) $$-a^2+3a-5<0$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=a^2+a+1.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты вершины:

$$a_0=-\frac{1}{2},$$

$$y_{\min}=\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}.$$

Минимальное значение функции равно $$\frac{3}{4}>0,$$ значит, при всех значениях $$a$$ верно неравенство

$$a^2+a+1>0.$$

Второй способ:

$$a^2+a+1=a^2+2\cdot \frac{1}{2}a+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=-a^2+3a-5.$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты вершины:

$$a_0=-\frac{3}{2\cdot(-1)}=\frac{3}{2},$$

$$y_{\max}=-\left(\frac{3}{2}\right)^2+3\cdot \frac{3}{2}-5=-\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-5=-\frac{11}{4}.$$

Наибольшее значение функции равно $$-\frac{11}{4}<0,$$ значит, при всех значениях $$a$$ верно неравенство

$$-a^2+3a-5<0.$$

Второй способ:

$$-a^2+3a-5=-(a^2-3a+5)=-\left(a-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{11}{4}<0.$$

Ответ

а) $$a^2+a+1>0$$ при всех $$a$$; б) $$-a^2+3a-5<0$$ при всех $$a$$.