Упр.2.114 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Найдите все целые значения m, при которых уравнение 4mx^2 + 5x + m = 0 имеет два корня.

1. Рассмотрим уравнение $$mx^2-2x+m=0.$$

   Чтобы оно имело два корня, нужно:

   $$D>0 \quad \text{и} \quad m\neq 0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(-2)^2-4\cdot m\cdot m=4-4m^2=4(1-m^2).$$

   Тогда

   $$4(1-m^2)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 1-m^2>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -1<m<1.$$

   При $$m=0$$ уравнение становится линейным $$-2x=0$$ и имеет один корень, поэтому это значение не подходит.

   Из чисел $$-1{,}5;\,-0{,}5;\,0;\,0{,}5;\,1{,}5$$ условию удовлетворяют:

   $$-0{,}5,\;0{,}5.$$

2. Рассмотрим уравнение $$4mx^2+5x+m=0.$$

   Чтобы оно имело два корня, нужно:

   $$D>0 \quad \text{и} \quad m\neq 0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=5^2-4\cdot 4m\cdot m=25-16m^2=(5-4m)(5+4m).$$

   Тогда

   $$25-16m^2>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -\frac54<m<\frac54.$$

   Целые значения $$m$$ из этого промежутка, кроме $$0$$, такие:

   $$m=-1,\;1.$$

Ответ

а) $$-0{,}5;\;0{,}5$$

б) $$-1;\;1$$