Упр.2.112 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. а) При каких значениях $$b$$ уравнение $$x^2+bx+4=0$$ имеет два корня? Имеет ли уравнение корни при $$b=-25{,}5$$; $$1{,}5$$; $$5{,}36$$?
   б) При каких значениях $$b$$ уравнение $$-2x^2-bx-8=0$$ имеет корни? Приведите пример отрицательного значения $$b$$, удовлетворяющего этому условию.

а) Рассмотрим уравнение $$x^2+bx+4=0.$$

Для того чтобы оно имело два корня, дискриминант должен быть положительным:

$$D=b^2-4\cdot 1\cdot 4=b^2-16=(b-4)(b+4).$$

Тогда

$$D>0 \iff (b-4)(b+4)>0 \iff b\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty).$$

Проверим заданные значения:

• при $$b=-25{,}5$$: $$D>0,$$ значит, корни есть;
• при $$b=1{,}5$$: $$D=1{,}5^2-16<0,$$ значит, корней нет;
• при $$b=5{,}36$$: $$D>0,$$ значит, корни есть.

б) Рассмотрим уравнение $$-2x^2-bx-8=0.$$

Оно имеет корни, если дискриминант неотрицателен:

$$D=(-b)^2-4\cdot(-2)\cdot(-8)=b^2-64=(b-8)(b+8).$$

Тогда

$$D\ge 0 \iff (b-8)(b+8)\ge 0 \iff b\in(-\infty;-8]\cup[8;+\infty).$$

Подходит, например, отрицательное значение $$b=-12.$$

Ответ

а) $$b\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty).$$ При $$b=-25{,}5$$ и $$b=5{,}36$$ корни есть, при $$b=1{,}5$$ корней нет.

б) $$b\in(-\infty;-8]\cup[8;+\infty).$$ Например, $$b=-12.$$