Упр.2.111 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
а) v(7x^2 + 6x — 1);
б) v(4 + x — 0,5x^2);
в) v(3 — 1/2 x^2);
г) v(9 — x^2) / x;
д) v(4 — x^2) / (x^2 — 1);
е) v(x^2 — 1) / (x^2 — 4).
$$\sqrt{7x^2+6x-1}$$
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$$7x^2+6x-1\ge 0.$$
Найдём корни уравнения:
$$7x^2+6x-1=0,$$
$$D=6^2-4\cdot 7\cdot(-1)=36+28=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{14},\quad x_1=-1,\quad x_2=\frac17.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$7x^2+6x-1\ge 0 \iff x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac17;+\infty\right).$$
$$\sqrt{4+x-0{,}5x^2}$$
Требуется:
$$4+x-0{,}5x^2\ge 0.$$
Решим уравнение:
$$-0{,}5x^2+x+4=0,$$
$$D=1-4\cdot(-0{,}5)\cdot 4=9,$$
$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{-1},\quad x_1=-2,\quad x_2=4.$$
Поскольку ветви параболы направлены вниз, получаем
$$4+x-0{,}5x^2\ge 0 \iff x\in[-2;4].$$
$$\sqrt{3-\frac12x^2}$$
Нужно, чтобы
$$3-\frac12x^2\ge 0.$$
Тогда
$$x^2\le 6,$$
откуда
$$x\in[-\sqrt6;\sqrt6].$$
$$\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$$
Условия существования:
$$9-x^2\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Из неравенства получаем
$$-3\le x\le 3,$$
и с учётом $$x\ne 0$$:
$$x\in[-3;0)\cup(0;3].$$
$$\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2-1}$$
Требуется:
$$4-x^2\ge 0,\quad x^2-1\ne 0.$$
Отсюда
$$-2\le x\le 2,\quad x\ne \pm 1.$$
Значит,
$$x\in[-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2].$$
$$\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2-4}$$
Условия существования:
$$x^2-1\ge 0,\quad x^2-4\ne 0.$$
Первое неравенство даёт
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$
Второе условие означает
$$x\ne \pm 2.$$
Итак,
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-1]\cup[1;2)\cup(2;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac17;+\infty\right)$$; б) $$[-2;4]$$; в) $$[-\sqrt6;\sqrt6]$$; г) $$[-3;0)\cup(0;3]$$; д) $$[-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2]$$; е) $$(-\infty;-2)\cup(-2;-1]\cup[1;2)\cup(2;+\infty).$$
