Упр.2.110 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. 2-110. Решите систему неравенств:
   а) $$6x^2-54\ ?\ 0$$ и $$x+3>3$$;
   б) $$3x^2+2x-1\ ?\ 0$$ и $$2-\frac{1}{2}x\ ?\ 0$$;
   в) $$6x^2+7x+1\ ?\ 0$$ и $$x^2-4\ ?\ 0$$;
   г) $$x^2-1\ ?\ 0$$ и $$x^2-3x\ ?\ 0$$;
   д) $$x^2+5>0$$ и $$x^2+5x>0$$;
   е) $$-(x+1)^2<0$$ и $$1-x\ ?\ 0$$.

1. $$6x^2-54\le 0,\quad x+3>3$$
   $$6(x^2-9)\le 0,\quad x>0$$
   $$x^2-9\le 0$$
   $$-3\le x\le 3$$
   Пересечение с условием $$x>0$$:
   $$0<x\le 3$$
2. $$3x^2+2x-1\ge 0,\quad 2-\frac12x\ge 0$$
   $$3x^2+2x-1=0$$
   $$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$
   $$x_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\quad x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13$$
   Тогда
   $$3x^2+2x-1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \text{ или } x\ge \frac13$$
   Из второго неравенства:
   $$2-\frac12x\ge 0 \Rightarrow x\le 4$$
   Пересечение:
   $$(-\infty;\,-1]\cup\left[\frac13;\,4\right]$$
3. $$6x^2+7x+1\le 0,\quad x^2-4\ge 0$$
   $$6x^2+7x+1=0$$
   $$D=7^2-4\cdot 6\cdot 1=25$$
   $$x_1=\frac{-7-5}{12}=-1,\quad x_2=\frac{-7+5}{12}=-\frac16$$
   Тогда
   $$6x^2+7x+1\le 0 \;\Rightarrow\; -1\le x\le -\frac16$$
   А
   $$x^2-4\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 2$$
   Пересечения нет.
4. $$x^2-1\le 0,\quad x^2-3x\ge 0$$
   $$x^2-1\le 0 \Rightarrow -1\le x\le 1$$
   $$x^2-3x\ge 0 \Rightarrow x(x-3)\ge 0 \Rightarrow x\le 0 \text{ или } x\ge 3$$
   Пересечение:
   $$[-1;\,0]$$
5. $$x^2+5>0,\quad x^2+5x>0$$
   Первое неравенство верно при всех $$x$$, так как $$x^2+5>0$$ всегда.
   Второе:
   $$x^2+5x>0 \Rightarrow x(x+5)>0$$
   Отсюда
   $$x<-5 \text{ или } x>0$$
6. $$-(x+1)^2<0,\quad 1-x\ge 0$$
   Так как $$-(x+1)^2<0$$ при всех $$x\ne -1$$, а при $$x=-1$$ получаем равенство $$0$$, то
   $$x\ne -1$$
   Из второго неравенства:
   $$x\le 1$$
   Пересечение:
   $$(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,1]$$

Ответ

а) $$\left(0;\,3\right]$$; б) $$(-\infty;\,-1]\cup\left[\frac13;\,4\right]$$; в) $$\varnothing$$; г) $$[-1;\,0]$$; д) $$(-\infty;\,-5)\cup(0;\,+\infty)$$; е) $$(-\infty;\,-1)\cup(-1;\,1]$$.