Упр.2.108 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Найдите отрицательные решения неравенства x^2 — 2x — 1 > 0.

а) Решим неравенство $$x^2+2x-2<0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2+2x-2=0.$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=4+8=12,$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt3}{2}=-1\pm\sqrt3.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то $$x^2+2x-2<0$$ между корнями:

$$-1-\sqrt3<x<-1+\sqrt3.$$

Положительные решения этого неравенства удовлетворяют условию $$x>0,$$ значит

$$0<x<\sqrt3-1.$$

б) Решим неравенство $$x^2-2x-1>0.$$

Найдём корни уравнения $$x^2-2x-1=0.$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=4+4=8,$$

$$x=\frac{2\pm\sqrt8}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то $$x^2-2x-1>0$$ вне промежутка между корнями:

$$x<1-\sqrt2 \quad \text{или} \quad x>1+\sqrt2.$$

Отрицательные решения должны удовлетворять условию $$x<0,$$ поэтому подходит только

$$x<1-\sqrt2.$$

Так как $$1-\sqrt2<0,$$ получаем ответ:

$$x\in(-\infty;\,1-\sqrt2).$$

Ответ

а) $$0<x<\sqrt3-1.$$
б) $$x\in(-\infty;\,1-\sqrt2).$$