Упр.183(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) v(v5 — 2)^2;
б) v(11 — 6v2);
в) v(7 + 2v10);
г) v(1 — v3)^2 + v(2 — v3)^2;
д) v(4 + 2v3) + (4 — 2v3);
е) v(4v5 + 9) + v(11 — 4v7).
Указание, б), в) Представьте подкоренное выражение в виде квадрата двучлена, например:
11 — 4v7 = 7 — 2 · 2 · v7 + 4 = (v7 — 2)^2;
8 + 2v15 = 5 + 2v5 · v3 + 3 = (v5 + v3)^2.

Подробный ответ

Используем свойство: если $$a \ge 0,$$ то $$\sqrt{a^2}=|a|.$$

$$\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=|\sqrt{5}-2|.$$
Так как $$\sqrt{5}>2,$$ то $$|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2.$$
$$\sqrt{11-6\sqrt{2}}=\sqrt{9-6\sqrt{2}+2}=\sqrt{(3-\sqrt{2})^2}=|3-\sqrt{2}|.$$
Так как $$3>\sqrt{2},$$ то $$|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}.$$
$$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5+2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}+2}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{5}+\sqrt{2}|.$$
Так как $$\sqrt{5}+\sqrt{2}>0,$$ то $$|\sqrt{5}+\sqrt{2}|=\sqrt{5}+\sqrt{2}.$$
$$\sqrt{(1-\sqrt{3})^2}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|+|2-\sqrt{3}|.$$
Так как $$1<\sqrt{3}<2,$$ то $$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1,$$ а $$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$|1-\sqrt{3}|+|2-\sqrt{3}|=(\sqrt{3}-1)+(2-\sqrt{3})=1.$$
$$\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3+2\sqrt{3}+1}+\sqrt{3-2\sqrt{3}+1}.$$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}+1)^2,\qquad 3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}+1|+|\sqrt{3}-1|.$$
Так как $$\sqrt{3}>1,$$ получаем
$$|\sqrt{3}+1|+|\sqrt{3}-1|=(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}.$$
$$\sqrt{4\sqrt{5}+9}+\sqrt{11-4\sqrt{7}}=\sqrt{5+4\sqrt{5}+4}+\sqrt{7-4\sqrt{7}+4}.$$
Представим подкоренные выражения в виде квадратов:
$$5+4\sqrt{5}+4=(\sqrt{5}+2)^2,\qquad 7-4\sqrt{7}+4=(\sqrt{7}-2)^2.$$
Тогда
$$\sqrt{(\sqrt{5}+2)^2}+\sqrt{(\sqrt{7}-2)^2}=|\sqrt{5}+2|+|\sqrt{7}-2|.$$
Так как $$\sqrt{5}+2>0$$ и $$\sqrt{7}>2,$$ то
$$|\sqrt{5}+2|+|\sqrt{7}-2|=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{7}-2)=\sqrt{5}+\sqrt{7}.$$