Упр.182(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 1 / (1 + v2) + 1 / (v2 + v3) + 1 / (v3 + v4) + 1 / (v4 + v5);
б) 1 / (v7 + v5) + 1 / (v5 + v3) + 1 / (v3 + 1)?

Подробный ответ

а)

$$ \frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt5} $$

Рационализуем знаменатели:

$$ \frac{1}{1+\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2)^2-1^2}=\frac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1 $$
$$ \frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2 $$
$$ \frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}=\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{\sqrt4-\sqrt3}{4-3}=\sqrt4-\sqrt3 $$
$$ \frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}=\frac{\sqrt5-\sqrt4}{(\sqrt5)^2-(\sqrt4)^2}=\frac{\sqrt5-\sqrt4}{5-4}=\sqrt5-\sqrt4 $$

Складываем:

$$ (\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+(\sqrt5-\sqrt4)=\sqrt5-1 $$

Так как $$4<5<9,$$ то $$2<\sqrt5<3,$$ значит

$$ 1<\sqrt5-1<2 $$

Следовательно, выражение заключено между $$1$$ и $$2$$.

б)

$$ \frac{1}{\sqrt7+\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+1} $$

Рационализуем знаменатели:

$$ \frac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{7-5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{2} $$
$$ \frac{1}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2} $$
$$ \frac{1}{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{3-1}=\frac{\sqrt3-1}{2} $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt7-\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3-1}{2} =\frac{\sqrt7-1}{2} $$

Так как $$4<7<9,$$ то $$2<\sqrt7<3,$$ значит

$$ \frac{1}{2}<\frac{\sqrt7-1}{2}<1 $$

Следовательно, выражение заключено между $$0$$ и $$1$$.