Упр.182(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Между какими соседними целыми числами заключено выражение:

а) $$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$$;

б) $$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$?

Подробный ответ

а)

$$\frac{1}{1+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}$$

Рационализуем знаменатели:

$$\frac{1}{1+\sqrt2}=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2)^2-1^2}=\frac{\sqrt2-1}{2-1}=\sqrt2-1$$
$$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}{3-2}=\sqrt3-\sqrt2$$
$$\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}=\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{\sqrt4-\sqrt3}{4-3}=\sqrt4-\sqrt3$$
$$\frac{1}{\sqrt4+\sqrt5}=\frac{\sqrt5-\sqrt4}{(\sqrt5)^2-(\sqrt4)^2}=\frac{\sqrt5-\sqrt4}{5-4}=\sqrt5-\sqrt4$$

Складываем:

$$(\sqrt2-1)+(\sqrt3-\sqrt2)+(\sqrt4-\sqrt3)+(\sqrt5-\sqrt4)=\sqrt5-1$$

Так как $$4<5<9,$$ то $$2<\sqrt5<3,$$ значит

$$1<\sqrt5-1<2$$

Следовательно, выражение заключено между $$1$$ и $$2$$.

б)

$$\frac{1}{\sqrt7+\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+1}$$

Рационализуем знаменатели:

$$\frac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{7-5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt5+\sqrt3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{5-3}=\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}$$
$$\frac{1}{\sqrt3+1}=\frac{\sqrt3-1}{3-1}=\frac{\sqrt3-1}{2}$$

Тогда

$$\frac{\sqrt7-\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3-1}{2} =\frac{\sqrt7-1}{2}$$

Так как $$4<7<9,$$ то $$2<\sqrt7<3,$$ значит

$$\frac{1}{2}<\frac{\sqrt7-1}{2}<1$$

Следовательно, выражение заключено между $$0$$ и $$1$$.