Упр.181(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 2v3; б) 2 + v3; в) v2 + v3.

Составим уравнение, у которого заданное число будет корнем. Удобно взять квадратное уравнение с рациональными коэффициентами.

1. Для числа $$2\sqrt{3}$$ можно взять уравнение

   $$x^2-12=0.$$

   Действительно, если $$x=2\sqrt{3}$$, то

   $$x^2=(2\sqrt{3})^2=4\cdot 3=12,$$

   значит, $$x^2-12=0$$.

2. Для числа $$2+\sqrt{3}$$ рассмотрим уравнение с корнями $$2+\sqrt{3}$$ и $$2-\sqrt{3}$$:

   $$x^2-4x+1=0.$$

   Проверка:

   $$\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)=4,$$

   $$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1.$$

   Значит, сумма корней равна $$4$$, а произведение — $$1$$, поэтому подходит уравнение $$x^2-4x+1=0$$.

3. Для числа $$\sqrt{2}+\sqrt{3}$$ положим

   $$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$x^2=2+3+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}.$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

   $$t=5+2\sqrt{6}.$$

   Это число является корнем уравнения

   $$t^2-10t+1=0.$$

   Подставляя $$t=x^2$$, получаем

   $$x^4-10x^2+1=0.$$

Ответ

а) $$x^2-12=0$$; б) $$x^2-4x+1=0$$; в) $$x^4-10x^2+1=0$$.