Упр.141(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Докажите, что если а < b и m и n — положительные действительные числа, сумма которых равна 1, то а < am + bn < b.

а) Пусть $$a<b.$$ Докажем по отдельности оба неравенства.

1) Так как $$a<b,$$ а число $$0{,}83>0,$$ то при умножении на $$0{,}83$$ знак неравенства не меняется:

$$0{,}83a<0{,}83b.$$

Вычтем из обеих частей $$0{,}17a$$:

$$a-0{,}17a<0{,}83b,$$

откуда

$$a<0{,}17a+0{,}83b.$$

2) Так как $$a<b,$$ а число $$0{,}17>0,$$ то

$$0{,}17a<0{,}17b.$$

Тогда

$$0{,}17a<b-0{,}83b,$$

следовательно,

$$0{,}17a+0{,}83b<b.$$

Значит,

$$a<0{,}17a+0{,}83b<b.$$

б) Пусть $$a<b,$$ $$m>0,$$ $$n>0,$$ $$m+n=1.$$ Докажем, что $$a<am+bn<b.$$

Так как $$m+n=1,$$ то $$n=1-m.$$ Из неравенства $$a<b$$ при умножении на положительное число $$m$$ получаем:

$$am<bm.$$

Тогда

$$a-am<bn,$$

то есть

$$a<am+bn.$$

Теперь из $$m+n=1$$ имеем $$m=1-n.$$ Умножим неравенство $$a<b$$ на положительное число $$n$$:

$$an<bn.$$

Следовательно,

$$am<b-bn,$$

откуда

$$am+bn<b.$$

Итак,

$$a<am+bn<b.$$

Ответ

а) $$a<0{,}17a+0{,}83b<b.$$
б) $$a<am+bn<b.$$