Упр.140(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$d$$ — положительные числа такие, что $$\frac{a}{b}\ ?\ \frac{c}{d}$$, то $$\frac{a}{b}\ ?\ \frac{a+c}{b+d}\ ?\ \frac{c}{d}$$.

Докажем сначала левое неравенство:

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b} =\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)} =\frac{bc-ad}{b(b+d)}.$$

Так как $$b>0$$ и $$d>0,$$ то $$b(b+d)>0.$$

Из условия $$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$$ получаем

$$ad\le bc \quad \Rightarrow \quad bc-ad\ge 0.$$

Значит,

$$\frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}\ge 0,$$

то есть

$$\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}.$$

Теперь докажем правое неравенство:

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d} =\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)} =\frac{bc-ad}{d(b+d)}.$$

Так как $$d>0$$ и $$b+d>0,$$ то $$d(b+d)>0.$$

А поскольку $$bc-ad\ge 0,$$ получаем

$$\frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}\ge 0,$$

следовательно,

$$\frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}.$$

Итак,

$$\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}.$$

Ответ

$$\frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}.$$