Упр.140(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Докажите, что если а, b, с и d — положительные числа такие, что a/b ? c/d, то a/b ? (a+c)/(b+d) ? c/d.

Докажем сначала левое неравенство:

$$ \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b} =\frac{b(a+c)-a(b+d)}{b(b+d)} =\frac{bc-ad}{b(b+d)}. $$

Так как $$b>0$$ и $$d>0,$$ то $$b(b+d)>0.$$

Из условия $$\frac{a}{b}\le \frac{c}{d}$$ получаем

$$ ad\le bc \quad \Rightarrow \quad bc-ad\ge 0. $$

Значит,

$$ \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}\ge 0, $$

то есть

$$ \frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}. $$

Теперь докажем правое неравенство:

$$ \frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d} =\frac{c(b+d)-d(a+c)}{d(b+d)} =\frac{bc-ad}{d(b+d)}. $$

Так как $$d>0$$ и $$b+d>0,$$ то $$d(b+d)>0.$$

А поскольку $$bc-ad\ge 0,$$ получаем

$$ \frac{c}{d}-\frac{a+c}{b+d}\ge 0, $$

следовательно,

$$ \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}. $$

Итак,

$$ \frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}. $$

Ответ

$$ \frac{a}{b}\le \frac{a+c}{b+d}\le \frac{c}{d}. $$