Упр.138(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если а и b — положительные числа, то а^3 > b^3 в том и только в том случае, когда а > b. Докажите этот факт алгебраически. Подсказка. В качестве образца для доказательства используйте пример 3.

Обозначим объёмы кубов со сторонами $$a$$ и $$b$$. Тогда они равны соответственно $$a^3$$ и $$b^3$$.

Если $$a>b>0$$, то

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$

Так как $$a-b>0$$, а $$a^2+ab+b^2>0$$, то $$a^3-b^3>0$$, значит, $$a^3>b^3$$.

Обратно, если $$a^3>b^3$$, то

$$ a^3-b^3>0, $$

то есть

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)>0. $$

Поскольку $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a^2+ab+b^2>0$$. Следовательно, $$a-b>0$$, откуда $$a>b$$.

Итак, для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ выполняется:

$$ a^3>b^3 \iff a>b. $$

Ответ

$$a^3>b^3 \iff a>b \quad \text{при } a>0,\ b>0.$$