Упр.138(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если $$a$$ и $$b$$ — положительные числа, то $$a^3>b^3$$ в том и только в том случае, когда $$a>b$$. Докажите этот факт алгебраически.

Обозначим объёмы кубов со сторонами $$a$$ и $$b$$. Тогда они равны соответственно $$a^3$$ и $$b^3$$.

Если $$a>b>0$$, то

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$a-b>0$$, а $$a^2+ab+b^2>0$$, то $$a^3-b^3>0$$, значит, $$a^3>b^3$$.

Обратно, если $$a^3>b^3$$, то

$$a^3-b^3>0,$$

то есть

$$(a-b)(a^2+ab+b^2)>0.$$

Поскольку $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a^2+ab+b^2>0$$. Следовательно, $$a-b>0$$, откуда $$a>b$$.

Итак, для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ выполняется:

$$a^3>b^3 \iff a>b.$$

Ответ

$$a^3>b^3 \iff a>b \quad \text{при } a>0,\ b>0.$$