Упр.137(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите разными способами, что: а) если $$a>b>0$$, то $$a^2+a>b^2+b$$; б) если $$a>1$$ и $$b>0$$, то $$ab+a>b+1$$.

1. а) Пусть $$a>b>0.$$ Рассмотрим разность левой и правой частей:

   $$(a^2+a)-(b^2+b)=a^2-b^2+a-b=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).$$

   Так как $$a>b>0,$$ то $$a-b>0$$ и $$a+b+1>0.$$ Следовательно,

   $$(a^2+a)-(b^2+b)>0,$$

   значит, $$a^2+a>b^2+b.$$

   Второй способ: из $$a>b>0$$ следует $$a^2>b^2.$$ Тогда

   $$a^2+a>b^2+a>b^2+b,$$

   поскольку $$a>b.$$

2. б) Пусть $$a>1$$ и $$b>0.$$ Рассмотрим разность:

   $$(ab+a)-(b+1)=ab-b+a-1=b(a-1)+(a-1)=(b+1)(a-1).$$

   Так как $$a>1,$$ то $$a-1>0,$$ а из $$b>0$$ следует $$b+1>0.$$ Поэтому

   $$(ab+a)-(b+1)>0,$$

   откуда $$ab+a>b+1.$$

   Второй способ: из $$a>1$$ и $$b>0$$ имеем $$b+1>1,$$ значит

   $$a(b+1)>1\cdot(b+1)=b+1.$$

   Но $$a(b+1)=ab+a,$$ следовательно, $$ab+a>b+1.$$

Ответ

а) $$a^2+a>b^2+b$$; б) $$ab+a>b+1$$.