Упр.136(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство: а) $$a^2+b^2+2\ ?\ 2(a+b)$$; б) $$a^2+b^2+c^2+3\ ?\ 2(a+b+c)$$.

Квадрат любого числа неотрицателен, значит

$$(a-1)^2 \ge 0, \qquad (b-1)^2 \ge 0, \qquad (c-1)^2 \ge 0.$$

а) Сложим неотрицательные выражения:

$$(a-1)^2+(b-1)^2 \ge 0$$

Раскроем скобки:

$$a^2-2a+1+b^2-2b+1 \ge 0$$

$$a^2+b^2+2 \ge 2a+2b$$

$$a^2+b^2+2 \ge 2(a+b)$$

б) Аналогично:

$$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2 \ge 0$$

Раскроем скобки:

$$a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1 \ge 0$$

$$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2a+2b+2c$$

$$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$$

Ответ

а) $$a^2+b^2+2 \ge 2(a+b)$$

б) $$a^2+b^2+c^2+3 \ge 2(a+b+c)$$