Упр.135(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для положительных чисел $$p$$ и $$q$$: а) $$p^3+q^2>p^2q+pq^2$$; б) $$p^4+q^4>p^3q+pq^3$$.

а) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$p^3+q^3-p^2q-pq^2=p^2(p-q)-q^2(p-q)=(p-q)(p^2-q^2)=(p-q)^2(p+q).$$

Так как $$p>0$$, $$q>0$$, то $$p+q>0$$, а также $$(p-q)^2\ge 0$$. Значит,

$$p^3+q^3-p^2q-pq^2=(p-q)^2(p+q)\ge 0,$$

откуда

$$p^3+q^3\ge p^2q+pq^2.$$

б) Рассмотрим разность:

$$p^4+q^4-p^3q-pq^3=p^3(p-q)-q^3(p-q)=(p-q)(p^3-q^3).$$

Разложим разность кубов:

$$p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2).$$

Тогда

$$p^4+q^4-p^3q-pq^3=(p-q)^2(p^2+pq+q^2).$$

Поскольку $$(p-q)^2\ge 0$$ и $$p^2+pq+q^2>0$$, получаем

$$p^4+q^4-p^3q-pq^3\ge 0,$$

то есть

$$p^4+q^4\ge p^3q+pq^3.$$

Ответ

а) $$p^3+q^3\ge p^2q+pq^2$$; б) $$p^4+q^4\ge p^3q+pq^3$$.