Упр.133(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Докажите, что полупериметр треугольника больше любой из его сторон.

Пусть стороны треугольника равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда его полупериметр:

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

По неравенству треугольника имеем:

$$a+b>c,\quad a+c>b,\quad b+c>a.$$

Докажем, что $$p$$ больше каждой стороны.

Для стороны $$c$$:

$$a+b>c$$

$$a+b+c>2c$$

$$\frac{a+b+c}{2}>c.$$

Для стороны $$b$$:

$$a+c>b$$

$$a+b+c>2b$$

$$\frac{a+b+c}{2}>b.$$

Для стороны $$a$$:

$$b+c>a$$

$$a+b+c>2a$$

$$\frac{a+b+c}{2}>a.$$

Следовательно, полупериметр треугольника больше любой из его сторон.

Ответ

$$\frac{a+b+c}{2}>a,\quad \frac{a+b+c}{2}>b,\quad \frac{a+b+c}{2}>c.$$