Упр.129(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Докажем неравенство:

$$a+\frac{1}{a}\ge 2, \quad a>0.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$\left(a-1\right)^2\ge 0.$$

При $$a>0$$ можно разделить обе части на $$a$$:

$$\frac{(a-1)^2}{a}\ge 0.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a^2-2a+1}{a}\ge 0,$$

откуда

$$a-2+\frac{1}{a}\ge 0.$$

Следовательно,

$$a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

Равенство достигается при $$a=1$$.

Словами это свойство можно сформулировать так: сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше двух.

Примеры:

• $$0{,}2+\frac{1}{0{,}2}=0{,}2+5=5{,}2>2;$$
• $$1+\frac{1}{1}=1+1=2;$$
• $$4+\frac{1}{4}=4+0{,}25=4{,}25>2.$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ при $$a>0$$; сумма положительного числа и обратного ему числа не меньше двух.