Упр.127(стар учебник) ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любых чисел $$a$$ и $$b$$:
   а) $$a^2+b^2\geq 2ab$$;
   б) $$(a+b)\cdot b\geq ab$$;
   в) $$a^2+2ab+b^2\geq 4ab$$;
   г) $$a\cdot(a-b)\geq b\cdot(a-b)$$;
   д) $$\frac{a^2+1}{2}\geq a$$;
   е) $$\frac{a}{a^2+1}\leq \frac{1}{2}$$.

Используем тот факт, что квадрат любого числа неотрицателен: $$x^2 \ge 0.$$

1. $$a^2+b^2 \ge 2ab$$

   $$\left(a-b\right)^2 \ge 0$$
   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0$$
   $$a^2+b^2 \ge 2ab.$$

2. $$\left(a+b\right)b \ge ab$$

   $$b^2 \ge 0$$
   $$ab+b^2 \ge ab.$$

3. $$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab$$

   $$\left(a-b\right)^2 \ge 0$$
   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0$$
   $$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab.$$

4. $$a(a-b) \ge b(a-b)$$

   $$\left(a-b\right)^2 \ge 0$$
   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0$$
   $$a^2-ab \ge ab-b^2$$
   $$a(a-b) \ge b(a-b).$$

5. $$\frac{a^2+1}{2} \ge a$$

   $$\left(a-1\right)^2 \ge 0$$
   $$a^2-2a+1 \ge 0$$
   $$a^2+1 \ge 2a$$
   $$\frac{a^2+1}{2} \ge a.$$

6. $$\frac{a}{a^2+1} \le \frac12$$

   $$\left(a-1\right)^2 \ge 0$$
   $$a^2-2a+1 \ge 0$$
   $$a^2+1 \ge 2a.$$

   Так как $$a^2+1>0,$$ можно разделить на $$2(a^2+1):$$

   $$\frac{2a}{2(a^2+1)} \le \frac{a^2+1}{2(a^2+1)}$$
   $$\frac{a}{a^2+1} \le \frac12.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2 \ge 2ab$$;
б) $$\left(a+b\right)b \ge ab$$;
в) $$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab$$;
г) $$a(a-b) \ge b(a-b)$$;
д) $$\frac{a^2+1}{2} \ge a$$;
е) $$\frac{a}{a^2+1} \le \frac12.$$