Упр.12 Это надо уметь Глава 1 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Докажите, что для положительных чисел а и b a/b + b/a ? 2.

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$ab>0$$. Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+b^2}{ab}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}$$

Так как $$ (a-b)^2 \ge 0 $$ и $$ab>0$$, то

$$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

Значит,

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0,$$

откуда

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

Ответ

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$