Упр.12 Это надо уметь Глава 1 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ $$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ ?\ 2$$.

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$ab>0$$. Рассмотрим выражение:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+b^2}{ab}-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab}$$

Так как $$(a-b)^2 \ge 0$$ и $$ab>0$$, то

$$\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0.$$

Значит,

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge 0,$$

откуда

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$

Ответ

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2.$$