Упр.1.99 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Пользуясь неравенством $$a+\frac{1}{a}\geqslant 2$$, где $$a>0$$, докажите, что:
   а) $$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\geqslant 2$$;
   б) $$\frac{x^2}{1+x^4}\leqslant \frac{1}{2}$$.

Используем неравенство $$a+\frac{1}{a}\ge 2,\quad a>0.$$

а) Рассмотрим выражение

$$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Положим

$$a=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Тогда

$$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$

Следовательно,

$$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}=a+\frac{1}{a}\ge 2.$$

б) Имеем

$$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac12.$$

Достаточно доказать, что

$$2x^2\le 1+x^4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^4-2x^2+1\ge 0,$$

$$\left(x^2-1\right)^2\ge 0.$$

Это верно при любых $$x$$, значит

$$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac12.$$

Равенство достигается при $$x^2=1,$$ то есть при $$x=\pm 1.$$

Ответ

а) $$\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\ge 2.$$
б) $$\frac{x^2}{1+x^4}\le \frac12.$$