Упр.1.98 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) В каком случае турист пройдёт одно и то же расстояние быстрее: если он будет идти по горизонтальной дороге с постоянной скоростью или же если половину пути он будет идти в гору со скоростью, на 1 км/ч меньшей, чем его скорость по горизонтальной дороге, а половину пути —
с горы со скоростью, на 1 км/ч большей, чем по горизонтальной дороге?
б) Саша и Даша отправляются из одного дома к школе, расстояние до которой 2 км. Саша первую половину пути бежит со скоростью а км/ч, а вторую половину пути идёт со скоростью b км/ч. Даша первую половину времени бежит со скоростью а км/ч, а вторую половину времени идёт со скоростью b км/ч. Кто из них доберётся до школы раньше?

Подробный ответ

а) Пусть $$v$$ км/ч — скорость туриста по горизонтальной дороге. Тогда в гору он идёт со скоростью $$v-1$$ км/ч, а с горы — со скоростью $$v+1$$ км/ч.

Если пройти путь $$S$$ по горизонтальной дороге, то время будет равно

$$\frac{S}{v}.$$

Если же половину пути идти в гору, а половину — с горы, то время составит

$$\frac{S}{2(v-1)}+\frac{S}{2(v+1)}.$$

Сравним эти времена:

$$ \frac{S}{v}-\frac{S}{2(v-1)}-\frac{S}{2(v+1)} = S\left(\frac{1}{v}-\frac{1}{2(v-1)}-\frac{1}{2(v+1)}\right). $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{v}-\frac{1}{2(v-1)}-\frac{1}{2(v+1)} = \frac{2(v-1)(v+1)-v(v+1)-v(v-1)}{2v(v-1)(v+1)} = \frac{-2}{2v(v-1)(v+1)}. $$

Так как $$v>1$$, то знаменатель положителен, значит

$$\frac{1}{v}-\frac{1}{2(v-1)}-\frac{1}{2(v+1)}<0.$$

Следовательно,

$$\frac{S}{v}<\frac{S}{2(v-1)}+\frac{S}{2(v+1)},$$

то есть по горизонтальной дороге турист пройдёт это расстояние быстрее.

б) Пусть расстояние до школы равно $$S=2$$ км.

Саша первую половину пути проходит со скоростью $$a$$ км/ч, вторую — со скоростью $$b$$ км/ч. Тогда его время:

$$ t_{\text{С}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}. $$

Даша первую половину времени бежит со скоростью $$a$$ км/ч, а вторую половину времени идёт со скоростью $$b$$ км/ч. Если каждую половину времени обозначить через $$\tau$$, то весь путь она проходит за время $$2\tau$$, а расстояние равно

$$ a\tau+b\tau=(a+b)\tau. $$

Так как весь путь равен $$2$$ км, получаем

$$ (a+b)\tau=2,\qquad \tau=\frac{2}{a+b}. $$

Значит, время Даши:

$$ t_{\text{Д}}=2\tau=\frac{4}{a+b}. $$

Сравним:

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b} = \frac{(a+b)^2-4ab}{ab(a+b)} = \frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}. $$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$ab(a+b)>0$$, а $$\,(a-b)^2\ge 0$$. Следовательно,

$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}. $$

Значит, $$t_{\text{С}}\ge t_{\text{Д}}$$, то есть Даша доберётся до школы не позже Саши, а при $$a\ne b$$ — раньше.