Упр.1.97 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

(a + b)(b + c)(c + a) ? 8abc.
Подсказка. Примените неравенство (a + b) / 2 ? vab.

По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для неотрицательных чисел имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc}, \qquad \frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ca}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$\frac{a+b}{2}\cdot \frac{b+c}{2}\cdot \frac{c+a}{2}\ge \sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca}.$$

Правая часть равна:

$$\sqrt{ab}\cdot \sqrt{bc}\cdot \sqrt{ca}=\sqrt{a^2b^2c^2}=abc.$$

Тогда

$$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\ge abc,$$

откуда

$$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$ (a+b)(b+c)(c+a)\ge 8abc.$$