Упр.1.96 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) (x + y) / x + (x + y) / y ? 4;
б) (x + y + z) / x + (x + y + z) / y + (x + y + z) / z ? 9.
Подсказка. Способ 1. Составьте разность левой и правой частей.
Способ 2. Выделите из дроби целую часть и воспользуйтесь неравенством, доказанным в упражнении 129.

1. а) При $$x>0$$ и $$y>0$$ рассмотрим разность левой и правой частей:

   $$ \frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}-4 =\left(1+\frac{y}{x}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)-4 =\frac{y}{x}+\frac{x}{y}-2. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}-2 =\frac{y^2+x^2-2xy}{xy} =\frac{(x-y)^2}{xy}. $$

   Так как $$x>0$$, $$y>0$$, то $$xy>0$$, а $$ (x-y)^2\ge 0$$. Значит,
   $$ \frac{(x-y)^2}{xy}\ge 0, $$
   следовательно,
   $$ \frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}\ge 4. $$

   Можно и так:
   $$ \frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y} =2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2+2=4, $$
   поскольку по неравенству $$a+\frac1a\ge 2$$ при $$a>0$$.

2. б) При $$x>0$$, $$y>0$$, $$z>0$$ рассмотрим разность:

   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-9 $$
   $$ =\left(1+\frac{y+z}{x}\right)+\left(1+\frac{x+z}{y}\right)+\left(1+\frac{x+y}{z}\right)-9 $$
   $$ =\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}-6. $$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-9 =\frac{z(x-y)^2+y(x-z)^2+x(y-z)^2}{xyz}. $$

   Так как $$x>0$$, $$y>0$$, $$z>0$$, то $$xyz>0$$, а
   $$ z(x-y)^2\ge 0,\quad y(x-z)^2\ge 0,\quad x(y-z)^2\ge 0. $$
   Следовательно,
   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-9\ge 0, $$
   то есть
   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\ge 9. $$

   Можно и так:
   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z} =3+\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right). $$
   По неравенству $$a+\frac1a\ge 2$$ для положительных чисел получаем:
   $$ \frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2,\quad \frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge 2,\quad \frac{z}{y}+\frac{y}{z}\ge 2. $$
   Тогда
   $$ \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\ge 3+2+2+2=9. $$

Ответ

а) $$\frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}\ge 4$$;
б) $$\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}\ge 9$$.