Упр.1.95 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) Разберите, как доказано неравенство 2 / (a + b) < 1/a + 1/b, где a > 0 и b > 0.
Доказательство. Представим дробь 2 / (a + b) в виде суммы дробей: 2 / (a + b) = 1 / (a + b) + 1 / (a + b). Но 1 / (a + b) < 1/a и 1 / (a + b) < 1 / b. Поэтому 1 / (a + b) + 1 / (a + b) < 1/a + 1/b. Таким образом, неравенство 2 / (a + b) < 1/a + 1/b доказано. 2) Пользуясь этим же приёмом, докажите неравенство 3 / (a + b + c) < 1 / (a + b) + 1 / (a + c) + 1 / (b + c), где a > 0, b > 0, c > 0.

1) Представим левую часть в виде суммы двух одинаковых дробей:

$$\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>a$$ и $$a+b>b$$, значит

$$\frac{1}{a+b}<\frac{1}{a}, \qquad \frac{1}{a+b}<\frac{1}{b}.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b},$$

то есть

$$\frac{2}{a+b}<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

2) Аналогично:

$$\frac{3}{a+b+c}=\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}.$$

Так как $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$, то

$$a+b+c>a+b, \qquad a+b+c>a+c, \qquad a+b+c>b+c,$$

значит

$$\frac{1}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}, \qquad \frac{1}{a+b+c}<\frac{1}{a+c}, \qquad \frac{1}{a+b+c}<\frac{1}{b+c}.$$

Тогда

$$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}.$$

Следовательно,

$$\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}.$$

Ответ

$$\frac{3}{a+b+c}<\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}.$$