Упр.1.94 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
- а) Докажите неравенство $$\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$, где $$a$$ и $$b$$ — любые действительные числа.
б) Докажите неравенство $$\frac{a^3+b^3}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^3$$, где $$a$$ и $$b$$ — любые положительные числа.
В каждом случае определите, при каком условии выполняется равенство.
а) Докажем неравенство
$$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}.$$
$$\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\ge 0.$$
Значит,
$$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$
Равенство выполняется при
$$\frac{(a-b)^2}{4}=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b.$$
б) Докажем неравенство
$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$
где $$a$$ и $$b$$ — положительные числа.
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3=\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{8}.$$
Раскроем скобки:
$$\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8}=\frac{3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3}{8}.$$
$$\frac{3(a^3-a^2b-ab^2+b^3)}{8}=\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}\ge 0.$$
Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а $$(a-b)^2\ge 0$$.
Следовательно,
$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$
Равенство выполняется при
$$\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}=0 \;\Longleftrightarrow\; a-b=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b.$$
Ответ
а) $$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,$$ равенство при $$a=b.$$
б) $$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$ равенство при $$a=b.$$
