Упр.1.94 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

б) Докажите неравенство (a^3 + b^3) / 2 ? ((a + b) / 2)^3, где a и b — любые положительные числа.
В каждом случае определите, при каком условии выполняется равенство.

а) Докажем неравенство

$$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}.$$

$$\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\ge 0.$$

Значит,

$$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2.$$

Равенство выполняется при

$$\frac{(a-b)^2}{4}=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b.$$

б) Докажем неравенство

$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$

где $a$ и $b$ — положительные числа.

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3=\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{8}.$$

Раскроем скобки:

$$\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8}=\frac{3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3}{8}.$$

$$\frac{3(a^3-a^2b-ab^2+b^3)}{8}=\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}\ge 0.$$

Так как $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$, а $(a-b)^2\ge 0$.

Следовательно,

$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$

Равенство выполняется при

$$\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}=0 \;\Longleftrightarrow\; a-b=0 \;\Longleftrightarrow\; a=b.$$

Ответ

а) $$\frac{a^2+b^2}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^2,$$ равенство при $$a=b.$$

б) $$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$ равенство при $$a=b.$$