Упр.1.93 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
Сравните:
а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}$$ и $$\sqrt{2}+\sqrt{6}$$;
б) $$\sqrt{5}+\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{3}+\sqrt{8}$$;
в) $$\sqrt{15}+\sqrt{17}$$ и $$8$$;
г) $$16$$ и $$\sqrt{65}+\sqrt{63}$$;
д) $$\sqrt{8}-\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{10}-\sqrt{3}$$;
е) $$\sqrt{17}-\sqrt{6}$$ и $$\sqrt{12}-\sqrt{3}$$;
ж) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$$ и $$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$$;
з) $$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}$$ и $$\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}$$.
а) Сравним суммы:
$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\ \text{и}\ \sqrt{2}+\sqrt{6}.$$
Допустим, что $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$ Тогда
$$(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2>(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$$
$$3+2\sqrt{15}+5>2+2\sqrt{12}+6$$
$$2\sqrt{15}>2\sqrt{12}$$
$$\sqrt{15}>\sqrt{12},$$
что верно. Значит,
$$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$
б) Сравним:
$$\sqrt{5}+\sqrt{6}\ \text{и}\ \sqrt{3}+\sqrt{8}.$$
Допустим, что $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}.$$ Тогда
$$(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2>(\sqrt{3}+\sqrt{8})^2$$
$$5+2\sqrt{30}+6>3+2\sqrt{24}+8$$
$$2\sqrt{30}>2\sqrt{24}$$
$$\sqrt{30}>\sqrt{24},$$
что верно. Значит,
$$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}.$$
в) Сравним:
$$\sqrt{15}+\sqrt{17}\ \text{и}\ 8.$$
Допустим, что $$\sqrt{15}+\sqrt{17}>8.$$ Тогда
$$(\sqrt{15}+\sqrt{17})^2>8^2$$
$$15+2\sqrt{15\cdot17}+17>64$$
$$2\sqrt{255}>32$$
$$\sqrt{255}>16.$$
Но $$255<16^2=256,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$$
г) Сравним:
$$16\ \text{и}\ \sqrt{65}+\sqrt{63}.$$
Допустим, что $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}.$$ Тогда
$$16^2>(\sqrt{65}+\sqrt{63})^2$$
$$256>65+2\sqrt{65\cdot63}+63$$
$$128>2\sqrt{4095}$$
$$64>\sqrt{4095}.$$
Но $$64^2=4096>4095,$$ значит, неравенство верно. Следовательно,
$$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}.$$
д) Сравним:
$$\sqrt{8}-\sqrt{2}\ \text{и}\ \sqrt{10}-\sqrt{3}.$$
Допустим, что $$\sqrt{8}-\sqrt{2}>\sqrt{10}-\sqrt{3}.$$ Тогда
$$(\sqrt{8}-\sqrt{2})^2>(\sqrt{10}-\sqrt{3})^2$$
$$8-2\sqrt{16}+2>10-2\sqrt{30}+3$$
$$10-8-13>-2\sqrt{30}$$
$$11<2\sqrt{30}.$$
Но $$11^2=121>120=4\cdot30,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{8}-\sqrt{2}<\sqrt{10}-\sqrt{3}.$$
е) Сравним:
$$\sqrt{17}-\sqrt{6}\ \text{и}\ \sqrt{12}-\sqrt{3}.$$
Допустим, что $$\sqrt{17}-\sqrt{6}>\sqrt{12}-\sqrt{3}.$$ Тогда
$$(\sqrt{17}-\sqrt{6})^2>(\sqrt{12}-\sqrt{3})^2$$
$$17-2\sqrt{102}+6>12-2\sqrt{36}+3$$
$$23-2\sqrt{102}>3$$
$$20>2\sqrt{102}$$
$$10>\sqrt{102}.$$
Но $$10^2=100<102,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{17}-\sqrt{6}<\sqrt{12}-\sqrt{3}.$$
ж) Сравним:
$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\ \text{и}\ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$$
Допустим, что
$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$$
Тогда
$$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2>(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2$$
$$5-2\sqrt{15}+3>7-2\sqrt{35}+5$$
$$2\sqrt{35}-2\sqrt{15}>4$$
$$\sqrt{35}-\sqrt{15}>2.$$
Возведём в квадрат:
$$35-2\sqrt{525}+15>4$$
$$2\sqrt{525}<46$$
$$\sqrt{525}<23.$$
Но $$525<23^2=529,$$ значит, это верно. Следовательно,
$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$$
з) Сравним:
$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}\ \text{и}\ \frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}.$$
Допустим, что
$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}<\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}.$$
Тогда
$$(\sqrt{15}-\sqrt{14})^2<(\sqrt{14}-\sqrt{13})^2$$
$$15-2\sqrt{210}+14<14-2\sqrt{182}+13$$
$$2<2\sqrt{210}-2\sqrt{182}$$
$$1<\sqrt{210}-\sqrt{182}.$$
Возведём в квадрат:
$$1<210-2\sqrt{210\cdot182}+182$$
$$-391<-2\sqrt{210\cdot182}$$
$$391>2\sqrt{210\cdot182}.$$
После деления на $$2$$ получаем
$$14>\sqrt{210\cdot182}.$$
Но $$14^2=196<210\cdot182,$$ значит, исходное предположение неверно. Следовательно,
$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}>\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}.$$
Ответ
а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}$$; б) $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}$$; в) $$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8$$; г) $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}$$; д) $$\sqrt{8}-\sqrt{2}<\sqrt{10}-\sqrt{3}$$; е) $$\sqrt{17}-\sqrt{6}<\sqrt{12}-\sqrt{3}$$; ж) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$$; з) $$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}>\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}$$.
