Упр.1.91 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Проиллюстрируйте геометрически следующий факт: если а и b — положительные числа, то а^3 > b^3 в том и только в том случае, когда а > b. Докажите этот факт алгебраически. Подсказка. В качестве образца для доказательства используйте пример 3.

Геометрически этот факт можно иллюстрировать так: объёмы кубов со сторонами $$a$$ и $$b$$ равны соответственно $$a^3$$ и $$b^3$$. Если $$a>b>0$$, то куб со стороной $$a$$ имеет больший объём, значит $$a^3>b^3$$.

Докажем утверждение алгебраически.

1) Если $$a>b>0$$, то

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$

Так как $$a-b>0$$ и $$a^2+ab+b^2>0$$, то

$$ a^3-b^3>0, $$

следовательно, $$a^3>b^3$$.

2) Если $$a^3>b^3$$, то

$$ a^3-b^3>0. $$

Разложим разность кубов на множители:

$$ (a-b)(a^2+ab+b^2)>0. $$

При $$a>0$$ и $$b>0$$ имеем $$a^2+ab+b^2>0$$, значит знак произведения определяется знаком множителя $$a-b$$. Поэтому

$$ a-b>0, $$

то есть $$a>b$$.

Итак, для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ выполняется:

$$ a^3>b^3 \iff a>b. $$

Ответ

$$a^3>b^3 \iff a>b \quad \text{при } a>0,\ b>0.$$