Упр.1.90 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) если а > b > 0, то а^2 + а > b^2 + b;
б) если а > 1 и b > 0, то ab + а > b + 1.
Подсказка, а) Способ 1. Сравните разность между левой и правой частями неравенства с нулём.
Способ 2. Воспользуйтесь неравенством, доказанным в примере 3.

а) Если $$a>b>0,$$ то рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ (a^2+a)-(b^2+b)=a^2-b^2+a-b=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1). $$

Так как $$a>b>0,$$ то $$a-b>0,$$ а также $$a+b+1>0.$$ Следовательно,

$$ (a^2+a)-(b^2+b)>0, $$

значит, $$a^2+a>b^2+b.$$

Другой способ: из $$a>b>0$$ следует $$a^2>b^2.$$ Тогда

$$ a^2+a>b^2+a>b^2+b, $$

что и требовалось доказать.

б) Если $$a>1$$ и $$b>0,$$ то рассмотрим разность:

$$ (ab+a)-(b+1)=ab-b+a-1=b(a-1)+(a-1)=(b+1)(a-1). $$

Так как $$a>1,$$ то $$a-1>0,$$ а из $$b>0$$ следует $$b+1>0.$$ Значит,

$$ (ab+a)-(b+1)>0, $$

следовательно, $$ab+a>b+1.$$

Другой способ: поскольку $$a>1,$$ то при умножении на положительное число $$b+1$$ получаем

$$ a(b+1)>1\cdot(b+1). $$

То есть

$$ ab+a>b+1. $$

Ответ

а) $$a^2+a>b^2+b.$$
б) $$ab+a>b+1.$$