Упр.1.85 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$a>0$$, то $$a+\frac{1}{a}\ ?\ 2$$. Сформулируйте словами доказанное свойство и конкретизируйте его примерами.

Докажем неравенство при $$a>0$$:

$$(a-1)^2 \ge 0$$

Так как $$a>0$$, можно разделить обе части на $$a$$:

$$\frac{(a-1)^2}{a} \ge 0$$

Раскроем скобки:

$$\frac{a^2-2a+1}{a} \ge 0$$

$$a-2+\frac{1}{a} \ge 0$$

Следовательно,

$$a+\frac{1}{a} \ge 2$$

Что и требовалось доказать.

Словами это свойство можно сформулировать так: сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше двух.

Примеры:

$$0{,}2+\frac{1}{0{,}2}=0{,}2+5=5{,}2>2$$

$$1+\frac{1}{1}=1+1=2$$

$$4+\frac{1}{4}=4+0{,}25=4{,}25>2$$

Ответ

$$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ при $$a>0$$; сумма любого положительного числа и обратного ему числа не меньше двух.