Упр.1.83 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) a^2 + b^2 ? 2ab;
б) (a + b) · b ? ab;
в) a^2 + 2ab + b^2 ? 4ab;
г) a · (a — b) ? b · (a — b);
д) (a^2 + 1) / 2 ? a;
е) a / (a^2 + 1) ? 1/2.

Используем тот факт, что квадрат любого числа неотрицателен: $$x^2 \ge 0.$$

1. $$a^2+b^2 \ge 2ab$$

   Так как $$\left(a-b\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

   Прибавим $$2ab$$ к обеим частям:

   $$a^2+b^2 \ge 2ab.$$

2. $$\left(a+b\right)b \ge ab$$

   Так как $$b^2 \ge 0,$$ то

   $$ab+b^2 \ge ab.$$

   Но $$ab+b^2=\left(a+b\right)b,$$ значит

   $$\left(a+b\right)b \ge ab.$$

3. $$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab$$

   Так как $$\left(a-b\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

   Прибавим $$4ab$$ к обеим частям:

   $$a^2+2ab+b^2 \ge 4ab.$$

4. $$a(a-b) \ge b(a-b)$$

   Так как $$\left(a-b\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

   Прибавим $$ab$$ к обеим частям:

   $$a^2-ab+b^2 \ge ab.$$

   Левая часть раскладывается так:

   $$a(a-b) \ge b(a-b).$$

5. $$\frac{a^2+1}{2} \ge a$$

   Так как $$\left(a-1\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$a^2-2a+1 \ge 0.$$

   Тогда

   $$a^2+1 \ge 2a,$$

   а значит

   $$\frac{a^2+1}{2} \ge a.$$

6. $$\frac{a}{a^2+1} \le \frac12$$

   Так как $$\left(a-1\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$a^2-2a+1 \ge 0.$$

   Перенесём:

   $$2a \le a^2+1.$$

   Так как $$a^2+1>0,$$ можно разделить на $$2(a^2+1):$$

   $$\frac{2a}{2(a^2+1)} \le \frac{a^2+1}{2(a^2+1)}.$$

   Получаем

   $$\frac{a}{a^2+1} \le \frac12.$$

Ответ

Во всех пунктах неравенства верны.