Упр.1.79 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Определите, при каких значениях $$a$$ данное выражение имеет смысл. Укажите по три значения переменной $$a$$, при которых данное выражение имеет смысл и при которых оно не имеет смысла:
а) $$\sqrt{a-1}+\sqrt{a+1}$$;
б) $$\sqrt{3a+2}-\sqrt{1-2a}$$;
в) $$\sqrt{-3a}\cdot\sqrt{a+3}$$;
г) $$\frac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{a-1}+\sqrt{a+1}$$
Чтобы выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:
$$\begin{cases} a-1 \ge 0,\\ a+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \ge 1,\\ a \ge -1 \end{cases}$$
Следовательно, $$a \ge 1$$.
Имеет смысл при: $$a=1,\ 2{,}56,\ 103.$$
Не имеет смысла при: $$a=-4,\ 0,\ -1{,}2.$$
б) $$\sqrt{3a+2}-\sqrt{1-2a}$$
Требуем неотрицательность обоих подкоренных выражений:
$$\begin{cases} 3a+2 \ge 0,\\ 1-2a \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \ge -\dfrac{2}{3},\\ a \le \dfrac{1}{2} \end{cases}$$
Значит, $$a \in \left[-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}\right].$$
Имеет смысл при: $$a=-\dfrac{1}{3},\ 0,\ \dfrac{1}{4}.$$
Не имеет смысла при: $$a=-1,\ 3,\ 20.$$
в) $$\sqrt{-3a}\cdot\sqrt{a+3}$$
Нужно, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательны:
$$\begin{cases} -3a \ge 0,\\ a+3 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \le 0,\\ a \ge -3 \end{cases}$$
Следовательно, $$a \in [-3;0].$$
Имеет смысл при: $$a=0,\ \pi,\ 15.$$
Не имеет смысла при: $$a=-0{,}01,\ -45,\ -2.$$
г) $$\dfrac{\sqrt{2-\frac{a}{3}}}{\sqrt{1-\frac{a}{2}}}$$
Для существования выражения нужно:
- подкоренное выражение в числителе было неотрицательным;
- подкоренное выражение в знаменателе было положительным, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Получаем:
$$\begin{cases} 2-\dfrac{a}{3} \ge 0,\\ 1-\dfrac{a}{2} > 0 \end{cases}$$
Умножим неравенства на положительные числа:
$$\begin{cases} 6-a \ge 0,\\ 2-a > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \le 6,\\ a < 2 \end{cases}$$
Значит, $$a \in (-\infty;2).$$
Имеет смысл при: $$a=1,\ 0,\ -7.$$
Не имеет смысла при: $$a=2,\ 6,\ 24.$$