Упр.1.78 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Для функций $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ найдите множество значений аргумента, на котором обе функции отрицательны; одна из них отрицательна, а другая положительна; обе положительны. Проиллюстрируйте своё решение с помощью графиков.

а) $$f(x)=2x+1,\quad g(x)=x-3$$;

б) $$f(x)=-\frac{1}{2}x+1,\quad g(x)=\frac{1}{2}x-2$$.

а) $$f(x)=2x+1,\quad g(x)=x-3.$$

1) Обе функции отрицательны:

$$\begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-\frac12 \\ x<3 \end{cases}$$

Значит, $$x<-\frac12,$$ то есть $$x\in(-\infty;\,-\tfrac12).$$

2) $$f(x)>0,$$ а $$g(x)<0$$:

$$\begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac12 \\ x<3 \end{cases}$$

Следовательно, $$x\in\left(-\frac12;\,3\right).$$

3) $$g(x)>0,$$ а $$f(x)<0$$:

$$\begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-\frac12 \\ x>3 \end{cases}$$

Таких значений $$x$$ нет.

4) Обе функции положительны:

$$\begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac12 \\ x>3 \end{cases}$$

Значит, $$x>3,$$ то есть $$x\in(3;\,+\infty).$$

б) $$f(x)=-\frac12x+1,\quad g(x)=\frac12x-2.$$

1) Обе функции отрицательны:

$$\begin{cases} -\frac12x+1<0 \\ \frac12x-2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>2 \\ x<4 \end{cases}$$

Следовательно, $$x\in(2;\,4).$$

2) $$f(x)>0,$$ а $$g(x)<0$$:

$$\begin{cases} -\frac12x+1>0 \\ \frac12x-2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<2 \\ x<4 \end{cases}$$

Значит, $$x<2,$$ то есть $$x\in(-\infty;\,2).$$

3) $$g(x)>0,$$ а $$f(x)<0$$:

$$\begin{cases} -\frac12x+1<0 \\ \frac12x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>2 \\ x>4 \end{cases}$$

Следовательно, $$x>4,$$ то есть $$x\in(4;\,+\infty).$$

4) Обе функции положительны:

$$\begin{cases} -\frac12x+1>0 \\ \frac12x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<2 \\ x>4 \end{cases}$$

Таких значений $$x$$ нет.

Ответ

а) обе отрицательны: $$(-\infty;\,-\tfrac12)$$; одна отрицательна, другая положительна: $$(-\tfrac12;\,3)$$; обе положительны: $$(3;\,+\infty)$$; при $$g(x)>0,\ f(x)<0$$ решений нет.

б) обе отрицательны: $$(2;\,4)$$; $$f(x)>0,\ g(x)<0$$: $$(-\infty;\,2)$$; $$g(x)>0,\ f(x)<0$$: $$(4;\,+\infty)$$; обе положительны: решений нет.