Упр.1.46 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) Дано: m > n. Поэкспериментируйте с числами и сделайте вывод о неравенствах, связывающих числа 1/m и 1/n.
(Рассмотрите случаи: m > 0 и n > 0; m < 0 и n < 0; m > 0 и n < 0.) 2) Дано: m > n, p > n, q < n и все эти числа положительные. Расположите в порядке возрастания числа 1/m, 1/n, 1/p, 1/q. 3) Оцените 1/y и x/y, если 9 < x, 2 < y < 3.

1. Если $$m>n$$, то для обратных чисел знак неравенства зависит от знаков $$m$$ и $$n$$.

   1) При $$m>0$$ и $$n>0$$ получаем:

   $$m>n \Rightarrow \frac{1}{m}<\frac{1}{n}.$$

   2) При $$m<0$$ и $$n<0$$ также:

   $$m>n \Rightarrow \frac{1}{m}<\frac{1}{n}.$$

   3) При $$m>0$$ и $$n<0$$ имеем:

   $$\frac{1}{m}>\frac{1}{n}.$$

2. Так как $$m>n$$, $$p>n$$, $$q<n$$ и все числа положительные, то

   $$p>m>n>q.$$

   Для положительных чисел большему числу соответствует меньшая обратная величина, значит:

   $$\frac{1}{p}<\frac{1}{m}<\frac{1}{n}<\frac{1}{q}.$$

3. Из условий $$9<x$$ и $$2<y<3$$ получаем:

   $$\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}.$$

   Так как $$x>9$$, то

   $$\frac{x}{y}>9\cdot \frac{1}{3}=3.$$

   Кроме того, при $$y<3$$ имеем

   $$\frac{x}{y}>\frac{9}{3}=3,$$

   а при $$x$$ близком к $$10$$ и $$y$$ близком к $$2$$ получаем верхнюю оценку

   $$\frac{x}{y}<10\cdot \frac{1}{2}=5.$$

   Значит,

   $$3<\frac{x}{y}<5.$$

Ответ

1) При $$m>0$$ и $$n>0$$: $$\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$$; при $$m<0$$ и $$n<0$$: $$\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$$; при $$m>0$$ и $$n<0$$: $$\frac{1}{m}>\frac{1}{n}$$.

2) $$\frac{1}{p}<\frac{1}{m}<\frac{1}{n}<\frac{1}{q}.$$

3) $$\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}, \quad 3<\frac{x}{y}<5.$$