Упр.1.44 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что периметр выпуклого четырёхугольника больше суммы длин его диагоналей. б) Докажите, что периметр выпуклого пятиугольника больше полусуммы длин его диагоналей.

а) Обозначим стороны четырёхугольника через $$a, b, c, d$$, а диагонали — через $$e$$ и $$f$$. Тогда его периметр равен $$P=a+b+c+d$$, а сумма диагоналей — $$S=e+f$$.

По неравенству треугольника:

$$a+b>e,\quad b+c>f,\quad c+d>e,\quad d+a>f.$$

Сложим эти неравенства:

$$(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a) > e+f+e+f$$

$$2(a+b+c+d) > 2(e+f)$$

$$a+b+c+d > e+f$$

То есть $$P>S$$.

б) Обозначим стороны пятиугольника через $$a, b, c, d, e$$, а диагонали — через $$f, g, h, k, m$$. Тогда $$P=a+b+c+d+e$$, а $$S=f+g+h+k+m$$.

По неравенству треугольника:

$$a+b>f,\quad b+c>g,\quad c+d>m,\quad d+e>h,\quad e+a>k.$$

Сложим эти неравенства:

$$(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)+(e+a) > f+g+m+h+k$$

$$2(a+b+c+d+e) > f+g+h+k+m$$

$$a+b+c+d+e > \frac{1}{2}(f+g+h+k+m)$$

Следовательно, $$P>\frac{1}{2}S$$.

Ответ

а) $$P>S$$; б) $$P>\frac{1}{2}S$$.