Упр.1.34 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) 2^1; 2^2; 2^3; …; 2^n; …, где n — натуральное число;
б) множество чётных чисел;
в) множество нечётных чисел;
г) множество чисел вида a+bv2, где а и b — целые числа.

а) Рассмотрим множество $$2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^n, \ldots$$

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

$$2^m \cdot 2^n = 2^{m+n}.$$

Так как сумма натуральных чисел — натуральное число, то произведение любых двух чисел из данного множества снова принадлежит этому множеству. Значит, множество замкнуто относительно умножения.

б) Множество чётных чисел.

Сумма двух чётных чисел чётна, разность двух чётных чисел чётна, произведение двух чётных чисел тоже чётно. Следовательно, множество чётных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

в) Множество нечётных чисел.

Сумма двух нечётных чисел — чётное число, а произведение двух нечётных чисел — нечётное число. Значит, множество нечётных чисел замкнуто относительно умножения.

г) Множество чисел вида $$a+b\sqrt{2},$$ где $$a$$ и $$b$$ — целые числа.

Пусть

$$x=a_1+b_1\sqrt{2}, \quad y=a_2+b_2\sqrt{2},$$

где $$a_1, a_2, b_1, b_2$$ — целые числа. Тогда

$$x+y=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\sqrt{2},$$

$$x-y=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\sqrt{2},$$

$$ xy=(a_1+b_1\sqrt{2})(a_2+b_2\sqrt{2}) =(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{2}. $$

Так как целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, то полученные коэффициенты снова целые. Значит, это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Ответ

а) относительно умножения;
б) относительно сложения, вычитания и умножения;
в) относительно умножения;
г) относительно сложения, вычитания и умножения.