Упр.1.32 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой — рациональные числа?
б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината равны.
Постройте график функции y=-1/v2x;
а) Проходит ли график этой функции хотя бы через одну точку, обе координаты которой являются рациональными числами?
б) Найдите координаты точек графика, у которых абсцисса и ордината являются противоположными числами.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\frac{\sqrt{2}}{x}.$$
Если координаты точки рациональны, то числа $$x$$ и $$y$$ рациональны. Тогда из уравнения графика получаем:
$$xy=\sqrt{2}.$$
Но произведение двух рациональных чисел — рациональное число, а $$\sqrt{2}$$ иррационально. Значит, график не проходит ни через одну точку с рациональными координатами.
Для точек, у которых абсцисса и ордината равны, положим $$x=y$$. Тогда:
$$y=\frac{\sqrt{2}}{y},$$
$$y^2=\sqrt{2},$$
$$y=\pm\sqrt{\sqrt{2}}=\pm\sqrt[4]{2}.$$
Следовательно, искомые точки:
$$\left(\sqrt[4]{2};\sqrt[4]{2}\right) \text{ и } \left(-\sqrt[4]{2};-\sqrt[4]{2}\right).$$
Рассмотрим функцию $$y=-\frac{1}{\sqrt{2}\,x}.$$
Если координаты точки рациональны, то $$x$$ и $$y$$ рациональны. Тогда:
$$xy=-\frac{1}{\sqrt{2}}.$$
Правая часть иррациональна, а левая — рациональна. Противоречие. Значит, график не проходит ни через одну точку с рациональными координатами.
Для точек, у которых абсцисса и ордината противоположны, положим $$x=-y$$. Тогда:
$$y=-\frac{1}{\sqrt{2}(-y)}=\frac{1}{\sqrt{2}y},$$
$$y^2=\frac{1}{\sqrt{2}},$$
$$y=\pm\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\pm\sqrt[4]{\frac{1}{2}}.$$
Тогда $$x=-y$$, и получаем точки:
$$\left(\sqrt[4]{\frac{1}{2}};-\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\right) \text{ и } \left(-\sqrt[4]{\frac{1}{2}};\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\right).$$