Упр.1.31 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения:

1. а) $$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+3}$$; б) $$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{7}}{\sqrt{2}+\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{7}}{\sqrt{2}-\sqrt{7}}$$; в) $$\frac{\sqrt{8}-3}{2\sqrt{2}+3}+\frac{\sqrt{8}+3}{2\sqrt{2}-3}$$; г) $$2-\sqrt{3}+\frac{8}{2+\sqrt{3}}$$; д) $$\sqrt{(2-3\sqrt{2})^2}-2\sqrt{2}$$; е) $$2\sqrt{5}-\sqrt{(1-2\sqrt{5})^2}$$.

1. а)

   $$\frac{\sqrt5}{\sqrt5-\sqrt3}-\frac{\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3} =\frac{\sqrt5(\sqrt5+\sqrt3)-\sqrt3(\sqrt5-\sqrt3)}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}$$
   $$=\frac{5+\sqrt{15}-\sqrt{15}+3}{5-3} =\frac{8}{2}=4.$$
   Значение рациональное.

2. б)

   $$\frac{\sqrt2-\sqrt7}{\sqrt2+\sqrt7}-\frac{\sqrt2+\sqrt7}{\sqrt2-\sqrt7} =\frac{(\sqrt2-\sqrt7)^2-(\sqrt2+\sqrt7)^2}{(\sqrt2+\sqrt7)(\sqrt2-\sqrt7)}$$
   $$=\frac{2-2\sqrt{14}+7-2-2\sqrt{14}-7}{2-7} =\frac{-4\sqrt{14}}{-5} =\frac{4\sqrt{14}}{5}.$$
   Значение иррациональное.

3. в)

   $$\frac{\sqrt8-3}{2\sqrt2+3}+\frac{\sqrt8+3}{2\sqrt2-3} =\frac{(\sqrt8-3)(2\sqrt2-3)+(\sqrt8+3)(2\sqrt2+3)}{(2\sqrt2+3)(2\sqrt2-3)}$$
   $$=\frac{(2\sqrt8-3\sqrt8-6\sqrt2+9)+(2\sqrt8+3\sqrt8+6\sqrt2+9)}{(2\sqrt2)^2-3^2}$$
   $$=\frac{4\sqrt8+18}{8-9} =\frac{4\cdot 2\sqrt2+18}{-1} =-8\sqrt2-18.$$
   Значение иррациональное.

4. г)

   $$2-\sqrt3+\frac{8}{2+\sqrt3} =\frac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)+8}{2+\sqrt3}$$
   $$=\frac{4-3+8}{2+\sqrt3} =\frac{9}{2+\sqrt3}.$$
   Значение иррациональное.

5. д)

   $$\sqrt{(2-3\sqrt2)^2}-2\sqrt2=|2-3\sqrt2|-2\sqrt2.$$
   Так как $$2-3\sqrt2<0,$$ то
   $$|2-3\sqrt2|=3\sqrt2-2.$$
   Тогда
   $$3\sqrt2-2-2\sqrt2=\sqrt2-2.$$
   Значение иррациональное.

6. е)

   $$2\sqrt5-\sqrt{(1-2\sqrt5)^2}=2\sqrt5-|1-2\sqrt5|.$$
   Так как $$1-2\sqrt5<0,$$ то
   $$|1-2\sqrt5|=2\sqrt5-1.$$
   Тогда
   $$2\sqrt5-(2\sqrt5-1)=1.$$
   Значение рациональное.

Ответ

а) рациональное; б) иррациональное; в) иррациональное; г) иррациональное; д) иррациональное; е) рациональное.