Упр.1.27 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Совет. Примените способ рассуждения от противного и воспользуйтесь результатами предыдущего упражнения.

Докажем утверждение от противного.

1. Пусть сумма $$b+\beta$$ — рациональное число, то есть $$b+\beta=c,$$ где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$\beta=c-b.$$

   Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, $$\beta$$ рационально. Это противоречит условию, что $$\beta$$ — иррациональное число. Следовательно, $$b+\beta$$ иррационально.

2. Пусть разность $$b-\beta$$ — рациональное число, то есть $$b-\beta=c,$$ где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$-\beta=c-b,\qquad \beta=b-c.$$

   Правая часть — разность двух рациональных чисел, значит, $$\beta$$ рационально. Противоречие. Следовательно, $$b-\beta$$ иррационально.

3. Пусть произведение $$b\beta$$ — рациональное число, то есть $$b\beta=c,$$ где $$c$$ — рациональное число. Так как $$b$$ — рациональное число и $$b\neq 0$$, получаем

   $$\beta=\frac{c}{b}.$$

   Частное двух рациональных чисел рационально, значит, $$\beta$$ рационально. Противоречие. Следовательно, $$b\beta$$ иррационально.

4. Пусть частное $$\frac{b}{\beta}$$ — рациональное число, то есть

   $$\frac{b}{\beta}=c,$$

   где $$c$$ — рациональное число. Тогда

   $$\beta=\frac{b}{c}.$$

   Правая часть — частное двух рациональных чисел, значит, $$\beta$$ рационально. Противоречие. Следовательно, $$\frac{b}{\beta}$$ иррационально.

Ответ

$$b+\beta,\; b-\beta,\; b\beta,\; \frac{b}{\beta}$$ — иррациональные числа.