Упр.1.26 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме случая деления на 0) есть число рациональное.

Возьмём два рациональных числа $$\frac{p}{q}$$ и $$\frac{r}{s}$$, где $$p, q, r, s$$ — целые числа, $$q \ne 0$$, $$s \ne 0$$.

Тогда:

$$\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-qr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}:\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot\frac{s}{r}=\frac{ps}{qr}, \quad r \ne 0$$

Числа $$ps$$, $$qr$$, $$pr$$ и $$qs$$ — целые, так как целые числа замкнуты относительно умножения. Поэтому числа $$ps+qr$$ и $$ps-qr$$ тоже целые, так как целые числа замкнуты относительно сложения и вычитания.

Следовательно, сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (при делении на ненулевое число) выражаются в виде отношения целых чисел, а значит, являются рациональными.

Ответ

Сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (кроме деления на 0) — рациональные числа.