Упр.1.26 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

Образец. Докажем, что сумма двух рациональных чисел есть число рациональное. Возьмём два рациональных числа\
p/q и r/s, где p,q,r,s — целые числа, и найдем их сумму:
p/q+r/s=(ps+qr)/qs;
Числа ps+qr и qs — целые (объясните почему), следовательно, число (ps+qr)/qs, которое является их
частным, есть число рациональное.

Подробный ответ

Возьмём два рациональных числа $$\frac{p}{q}$$ и $$\frac{r}{s}$$, где $$p, q, r, s$$ — целые числа, $$q \ne 0$$, $$s \ne 0$$.

Тогда:

$$\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}-\frac{r}{s}=\frac{ps-qr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}\cdot\frac{r}{s}=\frac{pr}{qs}$$

$$\frac{p}{q}:\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot\frac{s}{r}=\frac{ps}{qr}, \quad r \ne 0$$

Числа $$ps$$, $$qr$$, $$pr$$ и $$qs$$ — целые, так как целые числа замкнуты относительно умножения. Поэтому числа $$ps+qr$$ и $$ps-qr$$ тоже целые, так как целые числа замкнуты относительно сложения и вычитания.

Следовательно, сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел (при делении на ненулевое число) выражаются в виде отношения целых чисел, а значит, являются рациональными.