Упр.1.127 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Покажите, что в трапеции ABCD отрезок, параллельный основаниям и делящий трапецию на две трапеции равной площади, равен среднему квадратичному оснований.

Обозначим высоты трапеций $$AMND$$ и $$MBCN$$ через $$h_1$$ и $$h_2$$ соответственно. Тогда высота трапеции $$ABCD$$ равна $$h_1+h_2$$.

По условию площади трапеций $$AMND$$ и $$MBCN$$ равны, значит

$$h_1\cdot \frac{a+x}{2}=h_2\cdot \frac{b+x}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$h_1(a+x)=h_2(b+x).$$

Кроме того, сумма площадей этих трапеций равна площади всей трапеции $$ABCD$$:

$$h_1\cdot \frac{a+x}{2}+h_2\cdot \frac{b+x}{2}=(h_1+h_2)\cdot \frac{a+b}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$h_1(a+x)+h_2(b+x)=(h_1+h_2)(a+b).$$

Раскроем скобки и преобразуем:

$$ah_1+xh_1+bh_2+xh_2=ah_1+bh_1+ah_2+bh_2,$$

$$xh_1+xh_2=bh_1+ah_2,$$

$$h_1(x-b)=h_2(a-x).$$

Теперь подставим из равенства $$h_1(a+x)=h_2(b+x)$$:

$$h_1=\frac{h_2(b+x)}{a+x}.$$

Тогда

$$\frac{h_2(b+x)}{a+x}(x-b)=h_2(a-x).$$

Сократим на $$h_2$$:

$$\frac{(b+x)(x-b)}{a+x}=a-x.$$

Умножим на $$a+x$$:

$$ (b+x)(x-b)=(a-x)(a+x). $$

Раскроем скобки:

$$x^2-b^2=a^2-x^2.$$

Отсюда

$$2x^2=a^2+b^2,$$

$$x^2=\frac{a^2+b^2}{2},$$

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}.$$

Ответ

$$x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$