Упр.1.124 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что среднее квадратичное двух положительных чисел всегда не меньше среднего арифметического этих чисел.

Докажем неравенство

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}, \quad a>0,\ b>0.$$

Возведём обе части в квадрат. Так как обе части неотрицательны, знак неравенства не изменится:

$$\frac{a^2+b^2}{2} \ge \frac{(a+b)^2}{4}.$$

Умножим на $$4$$:

$$2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2.$$

Раскроем скобки:

$$2a^2+2b^2 \ge a^2+2ab+b^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

Получаем:

$$(a-b)^2 \ge 0.$$

Это верно при любых $$a$$ и $$b$$, значит исходное неравенство доказано.

Ответ

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \ge \frac{a+b}{2}.$$