Упр.1.123 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Дорофеев, Суворова, Бунимович 9 класс, Просвещение: Докажите, что среднее геометрическое двух положительных чисел всегда не меньше среднего гармонического этих чисел.

Докажем неравенство:

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}, \quad a>0,\ b>0.$$

Так как $a>0$ и $b>0$, то обе части неравенства неотрицательны. Возведём его в квадрат:

$$ab \ge \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}.$$

Умножим на $(a+b)^2$:

$$ab(a+b)^2 \ge 4a^2b^2.$$

Раскроем скобки:

$$ab(a^2+2ab+b^2)-4a^2b^2 \ge 0,$$

$$a^3b+2a^2b^2+ab^3-4a^2b^2 \ge 0,$$

$$a^3b-2a^2b^2+ab^3 \ge 0,$$

$$ab(a^2-2ab+b^2)\ge 0,$$

$$ab(a-b)^2\ge 0.$$

Так как $ab>0$, а $(a-b)^2\ge 0$, то произведение неотрицательно. Следовательно,

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}.$$

Ответ

$$\sqrt{ab}\ge \frac{2ab}{a+b}.$$