Упр.1.100 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

1) а) С помощью числовых примеров выясните, как меняется — увеличивается или уменьшается — значение правильной дроби при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа. (Напомним, что числитель и знаменатель правильной дроби — натуральные числа и числитель меньше знаменателя.)
б) Запишите в буквенном виде установленную закономерность. Докажите записанное неравенство.
2) Проведите такое же исследование для неправильной дроби.

1) Для правильных дробей.

Рассмотрим несколько примеров:

$$\frac{3}{4} \text{ и } \frac{3+5}{4+5}=\frac{8}{9}, \quad \frac{3}{4}<\frac{8}{9}$$ $$\frac{1}{2} \text{ и } \frac{1+3}{2+3}=\frac{4}{5}, \quad \frac{1}{2}<\frac{4}{5}$$ $$\frac{5}{9} \text{ и } \frac{5+7}{9+7}=\frac{12}{16}, \quad \frac{5}{9}<\frac{12}{16}$$

Значение правильной дроби увеличивается.

Запишем закономерность в буквенном виде:

$$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c}, \quad \text{где } n<m,\; c>0.$$

Докажем это:

$$ \frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c} =\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)} =\frac{nc-mc}{m(m+c)}. $$

Так как $$n<m,$$ то $$n-m<0,$$ значит $$nc-mc<0.$$ Кроме того, $$m>0$$ и $$c>0,$$ поэтому $$m(m+c)>0.$$ Следовательно,

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}<0,$$

откуда

$$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c}.$$

2) Для неправильных дробей.

Рассмотрим несколько примеров:

$$\frac{4}{3} \text{ и } \frac{4+5}{3+5}=\frac{9}{8}, \quad \frac{4}{3}>\frac{9}{8}$$
$$\frac{5}{2} \text{ и } \frac{5+3}{2+3}=\frac{8}{5}, \quad \frac{5}{2}>\frac{8}{5}$$
$$\frac{6}{4} \text{ и } \frac{6+6}{4+6}=\frac{12}{10}, \quad \frac{6}{4}>\frac{12}{10}$$

Значение неправильной дроби уменьшается.

В буквенном виде:

$$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c}, \quad \text{где } n>m,\; c>0.$$

Докажем:

$$ \frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c} =\frac{n(m+c)-m(n+c)}{m(m+c)} =\frac{nc-mc}{m(m+c)}. $$

Так как $$n>m,$$ то $$n-m>0,$$ значит $$nc-mc>0.$$ Поскольку $$m>0$$ и $$c>0,$$ то $$m(m+c)>0.$$ Следовательно,

$$\frac{n}{m}-\frac{n+c}{m+c}>0,$$

откуда

$$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c}.$$

Ответ

1) При прибавлении к числителю и знаменателю одного и того же положительного числа значение правильной дроби увеличивается: $$\frac{n}{m}<\frac{n+c}{m+c}$$ при $$n<m,\; c>0.$$

2) Для неправильной дроби значение уменьшается: $$\frac{n}{m}>\frac{n+c}{m+c}$$ при $$n>m,\; c>0.$$