Ответы на вопросы на стр.93 Часть 2 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

Задача

Чему равно ожидаемое число успехов $$S$$ при вероятности успеха $$0{,}5$$ в серии из $$20$$ испытаний? Подбросьте $$20$$ раз монету, считая успехом выпадение орла. Подсчитайте число наступивших успехов. Совпало ли число успехов с ожидаемым значением? Сильно ли оно отличается от ожидаемого значения?
Производится серия испытаний Бернулли. Выберите верное утверждение:
а) чем больше вероятность успеха, тем больше математическое ожидание числа неудач;
б) чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач;
в) среднее число успехов зависит только от числа экспериментов и не связано с вероятностью успеха.
Запишите формулы для математического ожидания и дисперсии случайных величин «число успехов» и «частота успеха» в серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.
Проводятся две серии испытаний Бернулли длины $$n$$. Вероятность успеха в первой серии равна $$0{,}2$$, а во второй вероятность успеха равна $$0{,}8$$. Не производя вычислений, сравните:
а) математические ожидания числа успехов в первой серии и во второй серии;
б) дисперсии числа успехов в первой серии и во второй серии.
Число испытаний $$n$$ увеличивается. Как себя ведёт при этом:
а) математическое ожидание числа успехов;
б) математическое ожидание числа неудач;
в) дисперсия числа успехов;
г) математическое ожидание частоты успеха;
д) стандартное отклонение частоты успеха?
Верно ли, что в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач?

Подробный ответ

$$ES=np=20\cdot 0{,}5=10.$$

Пусть при подбрасывании монеты 20 раз выпало 7 орлов. Число успехов не совпало с ожидаемым значением, но оно не сильно отличается от него.

Верное утверждение — б): чем больше вероятность успеха, тем меньше математическое ожидание числа неудач.
Для серии из $$n$$ испытаний Бернулли с вероятностью успеха $$p$$:
$$ES=np,$$
$$DS=npq,$$
$$EF=\frac{1}{n}ES=\frac{1}{n}\cdot np=p,$$
$$DF=\frac{1}{n^2}DS=\frac{1}{n^2}\cdot npq=\frac{pq}{n},$$
где $$q=1-p.$$
Если в первой серии $$p=0{,}2$$, а во второй $$p=0{,}8$$, то:
а) математическое ожидание числа успехов в первой серии меньше, чем во второй;
б) дисперсии числа успехов равны, так как
$$DS_1=npq=n\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8,$$
$$DS_2=npq=n\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2.$$
При увеличении числа испытаний $$n$$:
а) математическое ожидание числа успехов увеличивается;
б) математическое ожидание числа неудач уменьшается;
в) дисперсия числа успехов увеличивается;
г) математическое ожидание частоты успеха не меняется;
д) стандартное отклонение частоты успеха уменьшается.
Да, верно: в серии испытаний Бернулли дисперсия числа успехов равна дисперсии числа неудач, потому что
$$DS=npq.$$