Упр.311 Часть 1 ГДЗ Высоцкий Ященко 7-9 класс (Алгебра)

1. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$$, и их среднее арифметическое равно $$\bar{x}$$. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: $$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x})=0$$.

Пусть $$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$ — среднее арифметическое данных чисел.

Тогда сумма отклонений от среднего арифметического равна

$$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})+\cdots+(x_n-\bar{x})$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)-n\bar{x}$$

Подставим формулу среднего арифметического:

$$(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)-n\cdot \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$

$$(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)-(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)=0$$

Следовательно, сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю.

Ответ

$$(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\cdots+(x_n-\bar{x})=0$$